Matematika
Latihan TKA Prime Factorization: Rahasia Keamanan Digital Lewat Faktorisasi
Materi: Bilangan | SMP MTs
SOAL NOMOR 1
Seorang ahli keamanan siber Sultan menggunakan bilangan $2.100$ sebagai dasar kunci enkripsi sementara. Untuk memperkuat kode tersebut, sistem memerlukan faktorisasi prima dari bilangan tersebut. Manakah bentuk faktorisasi prima yang benar dari $2.100$?
A. $2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7$
B. $2 \times 3^2 \times 5 \times 7$
C. $2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$
D. $2 \times 3 \times 5^2 \times 7^2$
PEMBAHASAN:
$2.100 = 21 \times 100 = (3 \times 7) \times (2^2 \times 5^2) = 2^2 \times 3 \times 5^2 \times 7$.
SOAL NOMOR 2
Brankas utama di kediaman Sultan memiliki kode akses yang berasal dari perkalian tiga bilangan prima berbeda yang jumlahnya adalah 20. Jika kode tersebut adalah hasil perkaliannya, manakah pernyataan berikut yang benar? (Pilih dua)
A. Bilangan prima yang digunakan adalah 2, 7, dan 11.
B. Kode akses brankas tersebut adalah 154.
C. Salah satu faktor primanya adalah 5.
D. Jika ketiga bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya adalah bilangan genap.
PEMBAHASAN:
Bilangan prima yang berjumlah 20: $2 + 7 + 11 = 20$. Hasil perkalian: $2 \times 7 \times 11 = 154$. Jadi A dan B benar.
SOAL NOMOR 3
Dalam sistem keamanan, setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Jika Sultan menggunakan angka 18, maka 18 dapat dinyatakan sebagai $11 + 7$.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
11 dan 7 adalah bilangan prima, dan $11 + 7 = 18$. Ini sesuai dengan konjektur Goldbach.
SOAL NOMOR 4
Sultan memiliki koleksi aset digital yang diamankan dengan kunci berupa bilangan $N$. Diketahui $N = 2^3 \times 3^2 \times 5$. Berapakah jumlah seluruh faktor pembagi positif dari bilangan $N$ tersebut?
PEMBAHASAN:
Jumlah faktor $= (3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$ faktor.
SOAL NOMOR 5
Dua sistem alarm di galeri seni Sultan diset untuk berbunyi setiap $x$ dan $y$ detik. Jika faktorisasi prima $x = 2^3 \times 3$ dan $y = 2^2 \times 3^2$, pada detik keberapakah kedua alarm akan berbunyi bersamaan untuk pertama kalinya?
A. 24 detik
B. 36 detik
C. 72 detik
D. 144 detik
PEMBAHASAN:
KPK dari $x$ dan $y$ diambil dari pangkat tertinggi faktor prima: $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$.
SOAL NOMOR 6
Sultan ingin membagikan 60 paket sembako premium dan 90 paket alat tulis secara merata kepada sebanyak mungkin yayasan. Berdasarkan faktorisasi prima, manakah pernyataan yang akurat? (Pilih dua)
A. Jumlah yayasan terbanyak yang menerima adalah 30 yayasan.
B. Setiap yayasan menerima 2 paket sembako dan 3 paket alat tulis.
C. Faktorisasi prima dari FPB (60, 90) adalah $2^2 \times 3 \times 5$.
D. Sultan dapat membagikan ke 15 yayasan saja tanpa menyisakan paket.
PEMBAHASAN:
FPB(60, 90): $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, $90 = 2 \times 3^2 \times 5$. FPB $= 2 \times 3 \times 5 = 30$ (A benar). Sembako $= 60/30 = 2$, Alat tulis $= 90/30 = 3$ (B benar).
SOAL NOMOR 7
Bilangan 143 adalah contoh bilangan prima yang digunakan dalam enkripsi sederhana karena tidak bisa dibagi oleh angka satuan manapun kecuali 1.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
$143 = 11 \times 13$, sehingga 143 bukan bilangan prima (bilangan komposit).
SOAL NOMOR 8
Berapakah bilangan prima terkecil yang lebih besar dari 50 yang sering digunakan Sultan sebagai variabel acak dalam sistem antrean bank miliknya?
PEMBAHASAN:
Bilangan setelah 50 adalah 51 (bisa dibagi 3), 52 (genap), dan 53 (prima).
SOAL NOMOR 9
Sebuah kode rahasia investasi Sultan adalah $P$. Jika $P$ adalah hasil kali dari empat bilangan prima pertama, berapakah nilai $P$?
A. 105
B. 210
C. 385
D. 120
PEMBAHASAN:
Empat bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7. Hasil kali $= 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 210$.
SOAL NOMOR 10
Sultan memiliki dua bidang tanah dengan luas $180$ m² dan $240$ m². Ia ingin membaginya menjadi beberapa kavling berbentuk persegi dengan luas maksimal yang sama. Manakah analisis yang benar? (Pilih dua)
A. Sisi persegi terbesar yang mungkin adalah 60 meter.
B. FPB dari 180 dan 240 adalah 60.
C. Faktorisasi prima dari 240 adalah $2^4 \times 3 \times 5$.
D. Akan dihasilkan total 12 kavling.
PEMBAHASAN:
$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$; $240 = 2^4 \times 3 \times 5$. FPB $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$ (B benar). Faktorisasi 240 benar (C benar).
SOAL NOMOR 11
Setiap bilangan prima hanya memiliki tepat dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
Ini adalah definisi dasar dari bilangan prima.
SOAL NOMOR 12
Jika faktorisasi prima dari usia perusahaan induk Sultan adalah $2 \times 3^2 \times 7$, berapakah usia perusahaan tersebut saat ini?
PEMBAHASAN:
$2 \times 9 \times 7 = 18 \times 7 = 126$.
SOAL NOMOR 13
Manakah dari bilangan berikut yang merupakan bilangan prima dan sering digunakan dalam teori kriptografi kunci publik?
A. 91
B. 97
C. 111
D. 119
PEMBAHASAN:
$91 = 7 \times 13$, $111 = 3 \times 37$, $119 = 7 \times 17$. Hanya 97 yang merupakan bilangan prima.
SOAL NOMOR 14
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan prima, maka KPK dari $a$ dan $b$ adalah selalu $a \times b$.
A. Benar
B. Salah
PEMBAHASAN:
Karena bilangan prima tidak memiliki faktor persekutuan selain 1, maka KPK-nya adalah hasil kali keduanya.
SOAL NOMOR 15
Sultan mendapati bahwa jumlah tiga bilangan prima berurutan adalah 31. Manakah pernyataan yang benar tentang ketiga bilangan tersebut? (Pilih dua)
A. Bilangan terbesarnya adalah 13.
B. Bilangan terkecilnya adalah 7.
C. Salah satu bilangannya adalah 11.
D. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 1.001.
PEMBAHASAN:
$7 + 11 + 13 = 31$. Bilangan tersebut adalah 7, 11, dan 13. (A dan C benar). Hasil kali $= 7 \times 11 \times 13 = 1.001$ (D juga benar, namun A dan C adalah identitas komponen).